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Suites géométriques

SG04 – Problème et somme

Pour financer l’achat de cinq machines à commande numérique, l’entreprise Alpha-Usinage contracte un emprunt sur 10 ans. Chaque versement annuel augmente de 5 % par rapport au précédent. La première annuité est de 20 000 €. Le comptable de l’entreprise veut connaître le montant total du remboursement de cet emprunt.

Définition : Une annuité est une somme d’argent versée annuellement par un emprunteur pour rembourser une dette. Elle est constituée d’une partie du capital emprunté, ainsi que des intérêts dus. Elle peut être variable ou constante d’une année à l’autre.



A. Calcul des annuités

Soit u1u_1, u2u_2, …, u10u_{10} les montants des dix annuités.

1. Calculer le montant de la deuxième annuité u2u_2.
u2=20000+(20000×5%)=20000+20000×0,05u_2=20 000+(20000 \times 5 \%)=20000+20000 \times 0,05
u2=20000×1,05u_2=20000 \times 1,05
u2=21000u_2=21000
2. Calculer le montant de la troisième annuité u3u_3.
u3=21000+(21000×5%)=21000+21000×0,05u_3=21 000+(21000 \times 5 \%)=21000+21000 \times 0,05
u3=21000×1,05u_3=21000 \times 1,05
u3=22050u_3=22050
3. Calculer le montant de la quatrième annuité u4u_4.
u4=22050+(22050×5%)=22050+22050×0,05u_4=22050+(22050 \times 5 \%)= 22050+22050 \times 0,05
u4=22050×1,05u_4=22050 \times 1,05
u4=23152,5u_4=23152,5
4. Calculer u4u3\dfrac{u_4}{u_3}, u3u2\dfrac{u_3}{u_2} et u2u1\dfrac{u_2}{u_1}
u4u3=u3u2=u2u1=1,05\dfrac{u_4}{u_3}=\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{u_2}{u_1}=1,05
5. Quelle est la nature de la suite (unu_n) ? Justifier et précisant la raison de cette suite.
On multiplie chaque terme par 1,05 pour trouver la valeur du terme suivant. C’est donc une suite géométrique de raison q = 1,05.








6. Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
un=u1×qn−1u_{n}=u_1 \times q^{n-1}
un=20000×1,05n−1u_{n}=20000 \times 1,05^{n-1}
7. Calculer u10u_{10}.
On remplace n par 10 dans l’équation trouvée plus haut :
u10=20000×1,0510−1u_{10}=20000 \times 1,05^{10-1}
u10=20000×1,059u_{10}=20000 \times 1,05^{9}
u10=31026,56u_{10}=31026,56
Dans 10 ans, l’annuité sera alors de 31026,56 €.



B. Montant total du remboursement

SG4

Sur une feuille de calcul d’un tableur, reproduire la tableau représenté ci-dessus. Pour cela, saisir :

1. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 ?

C3=C2×1.05C3=C2 \times 1.05
2. Compléter le tableau jusqu’à la dixième annuité.
3. Déterminer la somme à l’aide de la fonction «somme» du tableur des dix annuités.
On utilisera la fonction =somme() pour calculer la somme des 10 annuités. On trouve alors S=251557,85 en arrondissant au centième.
L’entreprise aura alors remboursée 251558 € de son emprunt au bout de 10 ans.
On verra juste après qu’une formule existe pour calculer n’importe quelle somme de n termes pour une suite géométrique.
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SG9a – Etablir un tableau d’amortissement – Amortissement constant

Le directeur de l’entreprise Les transporteurs réunis envisage l’achat d’un nouveau véhicule destiné au transport des marchandises. Pour financer cet achat, l’entreprise va devoir contracter l’emprunt d’un capital de 50 000 € au taux de 3,8 % par an remboursable en cinq annuités.

Avant de prendre sa décision, il demande à son comptable d’établir un tableau récapitulatif des remboursements de cet emprunt.


A. Amortissement constant

Le comptable propose un remboursement avec un amortissement constant et doit compléter le tableau d’amortissement ci-dessous, où les montants sont en euros.

Echéances Capital dû avant l’échéance Amortissement Intérêts Annuités
1 50000
2
3
4
5
L’amortissement est la part de capital remboursé.
L’amortissement constant A d’un capital de valeur V0V_0 remboursé en nn annuités est égal à : A=V0nA=\dfrac{V_0}{n}
1. Calculer le montant de l’amortissement constant, puis compléter la troisième colonne.

A=V0n=500005=10000A=\dfrac{V_0}{n}=\dfrac{50000}{5}=10000


Pour une échéance donnée, le capital restant dû est égal à la différence du capital dû l’année précédente et de l’amortissement.

2. Remplir la deuxième colonne avec le capital dû

C1=50000C_1=50000
C2=40000C_2=40000
C3=30000C_3=30000
C4=20000C_4=20000
C5=10000C_5=10000


Les intérêts représentent 3,8 % du capital restant dû avant l’échéance.

3. Calculer l’intérêt pour chaque échéance, puis compléter la quatrième colonne du tableau.

i1=50000×0,038=1900i_1=50000 \times 0,038=1900
i2=40000×0,038=1520i_2=40000 \times 0,038=1520
i3=30000×0,038=1140i_3=30000 \times 0,038=1140
i4=20000×0,038=760i_4=20000 \times 0,038=760
i5=10000×0,038=380i_5=10000 \times 0,038=380


L’annuité est la somme de l’amortissement et de l’intérêt.


4. Calculer le montant de la première annuité, puis compléter la cinquième colonne.

première annuité = 10 000 + 1 900 = 11 900
5. Quelle est la nature de la suite formée par les différentes annuités. Préciser son premier terme et sa raison.

11900 – 11520 = 11520 – 11140 = 11140 – 10760 = 10760 – 10380 = 380
Il s’agit donc d’une suite arithmétique de premier terme 11 900 et de raison r = – 380
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SG9b – Etablir un tableau d’amortissement – Annuités constantes

Le directeur de l’entreprise Les transporteurs réunis envisage l’achat d’un nouveau véhicule destiné au transport des marchandises. Pour financer cet achat, l’entreprise va devoir contracter l’emprunt d’un capital de 50 000 € au taux de 3,8 % par an remboursable en cinq annuités.

Avant de prendre sa décision, il demande à son comptable d’établir un tableau récapitulatif des remboursements de cet emprunt.


B. Annuités constantes

Le remboursement par amortissement constant ne convient pas au directeur de l’entreprise : il préfèrerait 5 annuités de même montant pour rembourser son emprunt de 50 000 € au taux de 3,8 %. Le comptable utilise un tableur pour réaliser le tableau d’amortissement comme représenté ci-dessous.

Echéances Capital restant dû Amortissement Intérêts Annuités
1 50000
2
3
4
5

Les fonctions financières du tableur permettent les calculs d’annuités et d’intérêts de remboursement d’emprunts.

La fonction financière =VPM(taux;npm;va)
du tableur permet le calcul de l’annuité pour un emprunt à taux constant (taux), connaissant le nombre d’annuités de remboursement (npm) et le capital emprunté (va).
1. Calculer l’annuité en saisissant dans la cellule E2 la formule : =VPM(3,8%;5;50000). Compléter la colonne Annuité du tableau sachant que le directeur souhaite une annuité constante.

Noter la valeur obtenue, sans tenir compte du signe négatif qui indique qu’il s’agit d’une somme due.

première annuité = 11 168,33 €
La fonction financière =INTPER(taux;per;npm;va) du tableur permet le calcul de l’intérêt pour une période donnée.
Les intérêts représentent 3,8 % du capital restant dû avant l’échéance.
2. Calculer l’intérêt de la première échéance en saisissant dans la cellule D2 la formule : =INTPER(3,8%;1;5;B2).

Noter la valeur obtenue, sans tenir compte du signe négatif qui indique qu’il s’agit d’une somme due.

premier intérêt = 1 900 €
3. Saisir dans la cellule C2 la formule =E2-D2 et noter la valeur obtenue :

On rappelle que l’amortissement est égal au montant de l’annuité moins l’intérêt.

premier amortissement = 9 268,33 €
4. Saisir dans la cellule B3 la formule =B2+C2 (attention la valeur de l’amortissement donnée par la tableur est négative) et noter la valeur obtenue :

Le capital restant dû à la deuxième échéance est égal au capital de l’échéance précédente moins l’amortissement.

capital restant dû = 40 731,67 €
5. Compléter la 2ème ligne du tableau d’amortissement en recopiant la cellule Intérêt, puis Amortissement, et enfin Capital restant dû à l’échéance 3.
6. Répéter ces opérations, ligne par ligne, pour compléter l’ensemble du tableau.
7. Effectuer la somme des différents amortissements.
50 000 €
8. Comparer la somme obtenue avec le montant du capital emprunté.
La somme des amortissements est égale au capital emprunté.
9. Quelle est la nature de la suite formée par les différents amortissements. Préciser son premier terme et sa raison.
9620,52 / 9268,33 = 9986,10 / 9620,52 = 10365,58 / 9986,10 = 10365,58 / 10365,58 = 1,038
Il s’agit donc d’une suite géométrique de premier terme 9 268,33 et de raison q = 1,038.