Samuel est passionné par les véhicules anciens. Il a acheté en 2014 un modèle de voiture de 1956 pour 3 000 €.
En consultant l’argus dans des revues spécialisées, il apprend que la valeur de ce modèle augmente de 400 € par an.
Samuel se demande à quel prix il pourra revendre son véhicule dans quelques années.

1. Êtes-vous d’accord avec Samuel quand il dit que l’évolution du pris de sa voiture est une suite arithmétique ? Justifier.

2. Quelle est la valeur du premier terme, noté u_1 ?

3. Quelle est la valeur de la raison r de cette suite ?

4. Quel était le prix du véhicule en 2015 ?

5. Quel était le prix du véhicule en 2017 ?

6. Cocher la bonne réponse.
\Box \quad u_4=u_1+4r
\Box \quad u_4=u_1+3r
\Box \quad u_4=3u_1+r

7. En déduite la relation générale entre u_n et n en utilisant u_1 et r ?

8. Remplacer dans cette équation générale le u_1 et le r trouvés plus haut ?

9. Quel était le prix du véhicule en 2021 ?

10. Quel était le prix du véhicule en 2034 ?

Une suite arithmétique est une suite de nombres qui commence par un premier nombre, le premier terme, à laquelle on ajoute toujours le même nombre r appelée raison.

2,4,6,8,10 est une suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 2 car on commence par 2 et on ajoute 2 à chaque terme. 4 est le second terme,…

Pour les suites, on utilisera la notation u_n où u représente une suite (comme f représente une fonction) et n en indice est le rang de cette suite ou le classement de ce terme dans la suite.

u_2 représente le second terme, u_{15} le quinzième et u_n le n-ième.
On utilisera les notations suivantes :
Pour le terme précédent de le n-ième terme : u_{n-1}
Pour le terme suivant de le n-ième terme : u_{n+1}

Le terme u_{n+1} de rang n+1 d’une suite arithmétique peut être déterminé́ à l’aide du terme précédent u_n et de la raison r :
u_{n+1}=u_{n} + r

Pour une suite arithmétique de raison r, tout terme de rang n ou n-ième terme peut s’écrire de la forme :
u_{n}=u_{0}+ n \times r
ou
u_{n}=u_{1}+(n-1) \times r

Pour la suite 2,4,6,8,10 de raison r=2 et u_1=2 , u_2=u_1 + (2-1) \times 2=4 , … , u_5=u_1 + (5-1) \times 2 = 2 + 4 \times 2 =10

La somme des termes d’une suite arithmétique est :
S=\dfrac{n \times (u_{1}+u_{n})}{2}