Archives de catégorie : Terminale
FD10 – Troisième problème
L’entreprise C.S.I.I. produit des articles du domaine informatique pour l’Europe.
Le coût de production C(n) exprimé en milliers d’euro pour n articles est donné par la fonction C avec : C(n)=0,02n^2-2n+98 pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le montant des ventes V(n) exprimé en milliers d’euro est pour sa part donné par la fonction V avec V(n)=1,5n pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le coût de production C(n) exprimé en milliers d’euro pour n articles est donné par la fonction C avec : C(n)=0,02n^2-2n+98 pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le montant des ventes V(n) exprimé en milliers d’euro est pour sa part donné par la fonction V avec V(n)=1,5n pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
1. Compléter le tableau suivant :
| n | 50 | 60 | 75 | 90 | 100 | 125 | 150 |
| C(n) | … | 50 | … | … | 98 | … | 248 |
C(50)=48
C(75)=60,5
C(90)=80
C(125)=160,5
C(75)=60,5
C(90)=80
C(125)=160,5
2. Tracer dans le même repère à l’aide de Géogébra les courbes représentant les fonctions C et V.
3. Déterminer graphiquement l’intervalle des valuers de n pour lesquelles la production est rentable.
La production est rentable quand V est au-dessus de C donc sur l’intervalle [50 ; 140]
4. Le bénéfice B(n) est donné par la fonction B pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Exprimer B(n) en fonction de n et déterminer la dérivée B'(n).
Exprimer B(n) en fonction de n et déterminer la dérivée B'(n).
B(n)=V(n)-C(n)
B(n)==1,5n-(0,02n^2-2n+98)
B(n)=-0,02n^2+3,5n-98
B'(n)=-0,04n+3,5
B(n)==1,5n-(0,02n^2-2n+98)
B(n)=-0,02n^2+3,5n-98
B'(n)=-0,04n+3,5
5. En déduire le nombre d’articles à vendre pour que le bénéfice soit maximum.
B'(n)=0
-0,04n+3,5=0
-0,04n=-3,5
n=87,5
Le nombre d’article est maximum pour n=87,5 car la fonction B est une fonction carrée et sa dérivée change de signe en n=87,5.
-0,04n+3,5=0
-0,04n=-3,5
n=87,5
Le nombre d’article est maximum pour n=87,5 car la fonction B est une fonction carrée et sa dérivée change de signe en n=87,5.
FD09 – Deuxième problème
Pour contrer l’offensive du commerce sur Internet dans le domaine de la cosmétique, le salon SANTÉ-BEAUTÉ a investi, depuis 4 ans, dans la publicité et l’aménagement de son point de vente. Le responsable du salon a constaté que pour une somme investie s (exprimée en k€), le résultat R réalisé, vérifie la formule R(s)=-6s^2+60s+12 pour
1.Calculer le résultat pour une somme investie de 3 k€.
R(s)=-6(3)^2+6(3)+12
R(s)=138
R(s)=138
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1,5;6] par : f(x)=-6x^2+60x+12
2.a. Soit f' la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1,5;6]. Calculer f'(x).
f'(x)=-12x+60
2.b. Résoudre l’équation f'(x)=0.
-12x+50=0
-12x=-60
x=\dfrac{-60}{-12}
x=5
-12x=-60
x=\dfrac{-60}{-12}
x=5
2.c. Compléter le tableau de variation de la fonction f.
| x | |
| f'(x) | |
| f(x) |
2.d. En utilisant le logiciel Géogébra, représenter graphiquement la fonction f.
2.e. Donner le maximum de la fonction f sur [1,5 ; 6].
f(5)=-6(5)^2+(5)x+12
f(5)=162
f(5)=162
3. En utilisant les réponses précédentes, donner le montant de l’investissement (en euros) qui permet d’obtenir un résultat maximum.
Le montant de l’investissement (en euros) qui permet d’obtenir un résultat maximum est s=5
FD08 – Premier problème
Après avoir transformé ses magasins, une chaîne s’intéresse au lancement d’une nouvelle ligne de produits biologiques sur le marché.
Pour faire connaitre ces produits, les dirigeants décident de créer une pochette « découverte » qui sera proposée au prix de 2 €.
On étudie la rentabilité de cette opération sur une journée sachant qu’au maximum 400 pochettes peuvent être fabriquées chaque jour.
Pour faire connaitre ces produits, les dirigeants décident de créer une pochette « découverte » qui sera proposée au prix de 2 €.
On étudie la rentabilité de cette opération sur une journée sachant qu’au maximum 400 pochettes peuvent être fabriquées chaque jour.
1) Calculer la recette réalisée dans le cas de :
a) 100 pochettes vendues par jour.
b) 400 pochettes vendues par jour.
a) 100 pochettes vendues par jour.
b) 400 pochettes vendues par jour.
La recette est égale au nombre de pochettes vendus multipliées par le coût 2€.
a) 100 pochettes : 100 \times 2=200
b) 400 pochettes : 400 \times 2=800
a) 100 pochettes : 100 \times 2=200
b) 400 pochettes : 400 \times 2=800
2) On note R la recette journalière et n le nombre de pochettes vendues par jour.
Exprimer R(n) en fonction de n.
Exprimer R(n) en fonction de n.
R(n)=2n
3. Le coût de fabrication journalier, en euros, de cette pochette est modélisé par la fonction f
définie sur l’intervalle [0;400] telle que f(x)=-0,01x^2+5x+10.
définie sur l’intervalle [0;400] telle que f(x)=-0,01x^2+5x+10.
a. Déterminer f'(x).
f'(x)=-0,02x+5
b. Résoudre l’inéquation f'(x)>0.
f'(x)>0 correspond à -0,02x+5>0
donc -0,02x>-5
donc x<\dfrac{5}{0,02} ou x<250 soit I=[0;250[
donc -0,02x>-5
donc x<\dfrac{5}{0,02} ou x<250 soit I=[0;250[
c. Compléter le tableau de variations.
4. A l’aide de Géogébra, tracer dans le repère suivant les représentations graphique de f(x)=-0,01x^2+5x+10 et y=2x sur l’intervalle [0;400] puis le point d’intersection de ces représentations graphiques.
5. Donner, en justifiant votre réponse, le nombre minimum de pochettes qu’il est nécessaire de vendre pour que l’opération soit rentable.
Le nombre minimum de pochettes doit être de 304 car les deux représentations graphiques se croisent en ce point.
FD07 – Premier exercice complet et problème
On considère la fonction f définie sur l’intervalle I=[18;40] par : f(x)=-1,5x^2+84x-950
1) Calculer f'(x) où f' désigne la dérivée de la fonction f.
2) Étudier le signe de f'(x) sur l’intervalle I=[18;40].
3) Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle I=[18;40].
4) En déduire la valeur de x pour laquelle la fonction f admet un maximum.
Dans une grande surface, un samedi, le nombre de clients N(t) présents dans le magasin en fonction de l’heure t est donné par :
N(t)=-5t^3+225t^2-3240t+15250 Les heures sont dans l’intervalle I=[10;20]
1) Compléter le tableau de valeurs de la fonction N situé ci-dessous.
N(t)=-5t^3+225t^2-3240t+15250 Les heures sont dans l’intervalle I=[10;20]
1) Compléter le tableau de valeurs de la fonction N situé ci-dessous.
| t | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| N(t) | 350 | 400 | 450 |
2) Placer les points correspondants dans le repère situé ci-après. Tracer la courbe représentative de la fonction N sur l’intervalle I=[10;20].
3) Déterminer graphiquement le nombre de clients présents à 15 heures 30 minutes. Laisser apparents les traits permettant la lecture graphique.
4) Soit N' la fonction dérivée de N. Déterminer N'(t).
5) Vérifier que N'(t)=0 équivaut à t^2-30t+216=0.
6) Résoudre cette équation.
7) Compléter le tableau de variation situé ci-dessous.
8) Déduire des résultats précédents l’heure à laquelle il faut prévoir un maximum de caissières pour fluidifier le passage aux caisses.
FD06 – Tableau de variation
Afin de résumer toutes les variations d’une fonction, il faut élaborer un tableau de variation.
① Ce tableau se base sur l’ensemble de définition I de la fonction qui vous sera donné.
Dans ce tableau de variation doit figurer les abscisses de I ainsi que les valeurs particulières qui annulent la dérivée.
① Ce tableau se base sur l’ensemble de définition I de la fonction qui vous sera donné.
Dans ce tableau de variation doit figurer les abscisses de I ainsi que les valeurs particulières qui annulent la dérivée.
| x | -\infty | -1 | 0 | 2 | +\infty |
﹖⃝Ici l’ensemble de définition est ]-\infty;+\infty[ avec 3 valeurs particulières -1;0;2.
—————–
② On doit y trouver aussi une étude du signe de la dérivée.
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
﹖⃝Ici le signe de la dérivée change aux valeurs particulières -1;0;2.
—————–
③ Et enfin les variations de la fonction symbolisées par des flèches.
On en conclut les variations de la fonctions avec des flèches montantes pour de la croissance, descendante pour de la décroissance et horizontale pour la constance.
⚠ N’oubliez d’inscrire les valeurs des images des valeurs particulières par la fonction f.
Tableau de variation de la fonction f(x)=3x^2+12x-5 définie sur l’intervalle I=[-5;2]
① On calcule la dérivée de la fonction f : f'(x)=6x+12
② On résout l’équation f'(x)=0 : 6x+12=0 ou x=-2
La dérivée s’annule donc en -2, la fonction change de signe en ce point.
③ On étudie le signe de la dérivée de f :
f'(x)>0 quand x>-2
f'(x)<0 quand x<-2 On résume :
① On calcule la dérivée de la fonction f : f'(x)=6x+12
② On résout l’équation f'(x)=0 : 6x+12=0 ou x=-2
La dérivée s’annule donc en -2, la fonction change de signe en ce point.
③ On étudie le signe de la dérivée de f :
f'(x)>0 quand x>-2
f'(x)<0 quand x<-2 On résume :
| f'(x) | - | 0 | + |
④ On calcule les valeurs des images des valeurs particulières.
f(-5)=3(-5)^2+12(-5)-5=10
f(-2)=3(-2)^2+12(-2)-5=-17
f(2)=3(2)^2+12(2)-5=31
⑤ On construit les flèches associées aux signes de la dérivées.
⑥ On obtient :
① Réaliser le tableau de variation de la fonction f(x)=-x^2+3x-2 sur I=[-1;4]
② Réaliser le tableau de variation de la fonction f(x)=x^2+4x-2 sur I=[-4;1]
FD05 – Applications à l’étude des variations d’une fonction
Signe de la dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
Si f'(x)>0 alors la fonction est croissante sur I.
Si f'(x)=0 alors la fonction est constante sur I.
Si f'(x)<0 alors la fonction est décroissante sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 or f'(x)>0 donc f est croissante.
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 or f'(x)>0 donc f est croissante.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f(x)=-3x alors f'(x)=-3 or f'(x)<0 donc f est décroissante.
Si f(x)=-3x alors f'(x)=-3 or f'(x)<0 donc f est décroissante.
Recherche d’extremum
SI pour une valeur x_0 appartenant à l’intervalle I, f'(x_0) s’annule en changeant de signe alors la fonction f passe par un extremum (minimum ou maximum) pour x=x_0.
SI pour une valeur x_0 appartenant à l’intervalle I, f'(x_0) s’annule en changeant de signe alors la fonction f passe par un extremum (minimum ou maximum) pour x=x_0.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I telle que f(x)=x^2.
f'(x)=2x
Si x<0 alors f'(x)<0 donc la fonction est décroissante.
Si x=0 alors f'(x)=0 donc la fonction est constante.
Si x>0 alors f'(x)>0 donc la fonction est croissante.
La fonction f(x)=x^2 s’annule en x_0=0 en changeant de signe donc x_0=0 est un extremum ici un minimum.
f'(x)=2x
Si x<0 alors f'(x)<0 donc la fonction est décroissante.
Si x=0 alors f'(x)=0 donc la fonction est constante.
Si x>0 alors f'(x)>0 donc la fonction est croissante.
La fonction f(x)=x^2 s’annule en x_0=0 en changeant de signe donc x_0=0 est un extremum ici un minimum.
1.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[-2;2] telle que f(x)=-3x^2.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
2.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathbb{R} telle que f(x)=-4x^3.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
3.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathbb{R^+*} telle que f(x)=-\sqrt{x}.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
4.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[1;7] telle que f(x)=\dfrac{-3}{x}.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
5.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[-1;3] telle que f(x)=x^2-2x+1.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
FD04 – QCM Dérivées
Cliquer sur le bouton « Départ » pour commencer le QCM
QCM Dérivées
Calculez les dérivées des fonctions suivantes
Félicitation - vous avez complété QCM Dérivées.
Vous avez obtenu %%SCORE%% sur %%TOTAL%%.
Votre performance a été évaluée à %%RATING%%
Vos réponses sont surlignées ci-dessous.
FD03B – Exercices calcul de dérivées
① Calculer la dérivée de f(x)=-3x
f'(x)=-3 -> Fonction affine + règle kf
② Calculer la dérivée de f(x)=-2x^2
f'(x)=-4x -> Fonction carrée + règle kf
③ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{-6}{x}
f'(x)=\dfrac{6}{x^2} -> Fonction inverse + règle kf
④ Calculer la dérivée de f(x)=6\sqrt{x}
f'(x)=\dfrac{6}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3}{\sqrt{x}} -> Fonction racine carrée + règle kf
⑤ Calculer la dérivée de f(x)=3x^2+5x-2
f'(x)=6x+5 -> règle f+g
⑥ Calculer la dérivée de f(x)=-x^3+8x+12
f'(x)=-3x^2+5 -> règle f+g
⑦ Calculer la dérivée de f(x)=x^3-2x^2+3x-9
f'(x)=3x^2-4x+3 -> règle f+g
⑧ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{3x^2+2x-2}{x}
f(x)=\dfrac{3x^2}{x}+\dfrac{2x}{x}-\dfrac{2}{x}
f(x)=3x+2-\dfrac{2}{x}
f'(x)=3+\dfrac{2}{x^2} -> règle f+g
f(x)=3x+2-\dfrac{2}{x}
f'(x)=3+\dfrac{2}{x^2} -> règle f+g
⑨ Calculer la dérivée de f(x)=(x-2)(-x+5)
f(x)=-x^2+5x+2x-10
f(x)=-x^2+7x-10
f'(x)=-2x+7 -> règle f+g
f(x)=-x^2+7x-10
f'(x)=-2x+7 -> règle f+g
⑩ Calculer la dérivée de f(x)=4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)
f(x)=4\sqrt{x} \times \sqrt{x}+4\sqrt{x} \times 2
f(x)=4x+8\sqrt{x}
f'(x)=4+\dfrac{4}{\sqrt{x}} -> règle f+g
f(x)=4x+8\sqrt{x}
f'(x)=4+\dfrac{4}{\sqrt{x}} -> règle f+g
FD-03A : Exercices calcul de dérivées
① Calculer la dérivée de f(x)=-5x
② Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{1}{2}x^2
③ Calculer la dérivée de f(x)=4x^3
④ Calculer la dérivée de f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3
⑤ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{3}{x}
⑥ Calculer la dérivée de f(x)=x+\dfrac{1}{x}
⑦ Calculer la dérivée de f(x)=x^2-5x+1
⑧ Calculer la dérivée de f(x)=x^3+2x+1
⑨ Calculer la dérivée de f(x)=2x^2-\dfrac{1}{x}
⑩ Calculer la dérivée de f(x)=x^3+5x^2+4x+3
⑪ Calculer la dérivée de f(x)=(x+1)(x+2)
⑫ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{4x^2+1}{x}
FD02 – Calcul de dérivées
Fonction dérivable sur un intervalle I
Étant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction f en x est appelée fonction dérivée de la fonction f sur I et est notée f'.
Étant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction f en x est appelée fonction dérivée de la fonction f sur I et est notée f'.
Un intervalle I peut se présenter sous différentes sortes : I=[0;5], I=]-\infty;5] ou encore I=]-2;+\infty[.
I=\mathbb{R} représente l’ensemble des réels et I=\mathbb{R}^+ représente l’ensemble des réels positifs.
I=\mathbb{R} représente l’ensemble des réels et I=\mathbb{R}^+ représente l’ensemble des réels positifs.
Tableau récapitulatif des dérivées usuelles
| Fonction | Expression | Fonction dérivée |
| Constante | a | 0 |
| Affine | ax+b | a |
| Carrée | x^2 | 2x |
| Cube | x^3 | 3x^2 |
| Inverse | \dfrac{1}{x} | -\dfrac{1}{x^2} |
| Racine carrée | \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} |
Si f(x)=4 alors f'(x)=0 => Fonction constante
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 => Fonction linéaire
Si f(x)=2x+4 alors f'(x)=2 => Fonction affine (=fonction linéaire + fonction constante)
Si f(x)=x^2 alors f'(x)=2x => Fonction carrée
Si f(x)=x^3 alors f'(x)=3x^2 => Fonction cube
Si f(x)=\dfrac{1}{x} alors f'(x)=-\dfrac{1}{x^2} => Fonction inverse
Si f(x)=\sqrt{x} alors f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} => Fonction racine carrée
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 => Fonction linéaire
Si f(x)=2x+4 alors f'(x)=2 => Fonction affine (=fonction linéaire + fonction constante)
Si f(x)=x^2 alors f'(x)=2x => Fonction carrée
Si f(x)=x^3 alors f'(x)=3x^2 => Fonction cube
Si f(x)=\dfrac{1}{x} alors f'(x)=-\dfrac{1}{x^2} => Fonction inverse
Si f(x)=\sqrt{x} alors f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} => Fonction racine carrée
Règles de dérivation 1 : Fonction multipliée par un réel
Étant donnée deux fonctions f et h dérivables sur un intervalle I et un réel k telles que h=k \times f et , la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à k \times f'.
Étant donnée deux fonctions f et h dérivables sur un intervalle I et un réel k telles que h=k \times f et , la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à k \times f'.
Si h(x)=2x alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=2 et f(x)=x or f'(x)=1.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=2 \times 1=2.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=2 \times 1=2.
Si h(x)=3x^2 alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=3 et f(x)=x^2 or f'(x)=2x.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=3 \times 2x=6x.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=3 \times 2x=6x.
Si h(x)=5\sqrt{x} alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=5 et f(x)=\sqrt{x} or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}.
Règles de dérivation 2 : Addition de deux fonctions
Étant donnée trois fonctions f,g et h dérivables sur un intervalle I et telles que h=f+g, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à f'+g'.
Étant donnée trois fonctions f,g et h dérivables sur un intervalle I et telles que h=f+g, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à f'+g'.
Si h(x)=2x+4 alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=2x et g(x)=4
or f'(x)=2 et g'(x)=0. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+0=2.
or f'(x)=2 et g'(x)=0. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+0=2.
Si h(x)=x^3+x^2 alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=x^3 et g(x)=x^2
or f'(x)=3x^2 et g'(x)=2x. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=3x^2+2x.
or f'(x)=3x^2 et g'(x)=2x. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=3x^2+2x.
Si h(x)=\dfrac{1}{x}+2x alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=\dfrac{1}{x} et g(x)=2x
or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} et g'(x)=2. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2.
or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} et g'(x)=2. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2.
Lors de plusieurs additions de fonctions, on applique la règle sur la dérivée de l’addition de deux fonctions plusieurs fois.
h(x)=2x^3-x^2+3x-2 donne h'(x)=6x^2-2x+3
h(x)=2x^3-x^2+3x-2 donne h'(x)=6x^2-2x+3
FD01 : Approche de la dérivée
Pour étudier les variations d’une fonction, nous avions jusqu’ici la possibilité de réaliser :
– à partir de son expression algébrique
f(x)=2x^3+2
– sa représentation graphique :
– et son tableau de valeurs :
– à partir de son expression algébrique
f(x)=2x^3+2
– sa représentation graphique :
– et son tableau de valeurs :
Quoi de neuf en terminale ?
Prenons ce rugbyman qui tape dans un ballon :
Plusieurs trajectoires sont possibles :
La trajectoire peut être modélisée par une fonction numérique. Cette année, nous allons pouvoir prévoir les variations de la fonction numérique (ici la trajectoire).
On va s’aider des tangentes en plusieurs points à la trajectoire du ballon.
Pour être plus précis, on va multiplier les points de la trjectoire…
et calculer les tangentes.
On a donc réussi à affiner la trajectoire du ballon.
Toute représentation graphique peut être approchée par une succession de tangentes en chaque point de la courbe.
Les tangentes sont intéressantes car ce sont des droites donc faciles à étudier en mathématiques.
Les droites,représentations graphiques, ont été étudiées en seconde par leur fonction, la fonction affine f(x)=ax+b.
Une droite se caractérise avant tout par son coefficient directeur a qui nous indique si la droite est croissante ou décroissante.
Les tangentes sont intéressantes car ce sont des droites donc faciles à étudier en mathématiques.
Les droites,représentations graphiques, ont été étudiées en seconde par leur fonction, la fonction affine f(x)=ax+b.
Une droite se caractérise avant tout par son coefficient directeur a qui nous indique si la droite est croissante ou décroissante.
Revenons une dernière fois sur notre rugbyman :
On voit que les tangentes ont un coefficient directeur positif quand la trajectoire monte et qu’elles ont un coefficient directeur négatif quand la trajectoire descend.
De plus lorsqu’on arrive au sommet de la trajectoire, le coefficient directeur de la tangente parallèle au sol (axe des abscisses) est nul.
Connaître le signe des coefficients directeurs des tangentes permet donc de déterminer les variations de la trajectoire.
– signe positif : trajectoire croissante
– signe nul : trajectoire constante
– signe négatif : trajectoire décroissante
C’est ce coefficient directeur de tangente que l’on appellera maintenant le nombre dérivé.
Il y autant de nombres dérivées que de tangentes possibles en chaque point de la courbe.
L’ensemble des nombres dérivés sont obtenus grâce à la fonction dérivée de la fonction numérique étudiée.
– signe positif : trajectoire croissante
– signe nul : trajectoire constante
– signe négatif : trajectoire décroissante
C’est ce coefficient directeur de tangente que l’on appellera maintenant le nombre dérivé.
Il y autant de nombres dérivées que de tangentes possibles en chaque point de la courbe.
L’ensemble des nombres dérivés sont obtenus grâce à la fonction dérivée de la fonction numérique étudiée.
x \mapsto f'(x)
On dit « f prime de x ».
SG-10 – Salle de concert
Pour la location d’une salle de concert, la municipalité pratique un tarif dégressif suivant la durée de la prestation.
Elle demande 3570€ la première journée et facture chaque journée supplémentaire 15% de moins que la précédente.
Jerry est manager de groupes musicaux et souhaite louer la salle pour des festivals.
On fixe u_n la suite représentant le coût des journées.
Elle demande 3570€ la première journée et facture chaque journée supplémentaire 15% de moins que la précédente.
Jerry est manager de groupes musicaux et souhaite louer la salle pour des festivals.
On fixe u_n la suite représentant le coût des journées.
1. Combien coûte la première journée.
u_1=3570
2. Combien coûte la seconde journée.
u_2=u_1 \times q
Une réduction de 15% correspond à un facteur multiplicateur de 100\%-15\%=85\%=\dfrac{85}{100}=0,85.
u_2=3570 \times 0,85=3034,50
La seconde journée coutera donc 3034,50€.
Une réduction de 15% correspond à un facteur multiplicateur de 100\%-15\%=85\%=\dfrac{85}{100}=0,85.
u_2=3570 \times 0,85=3034,50
La seconde journée coutera donc 3034,50€.
3. Combien coûte la troisième journée.
u_3=u_2 \times q
u_2=3034,50 \times 0,85=2579,325
La seconde journée coutera donc 2579,325€.
u_2=3034,50 \times 0,85=2579,325
La seconde journée coutera donc 2579,325€.
3. Déterminer la nature de la suite et sa raison.
Faire attention à ne pas arrondir les valeurs de u_2 et u_3.
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}=q
La suite u_n est une suite géométrique de raison q=0,85.
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{u_3}{u_2}=q
La suite u_n est une suite géométrique de raison q=0,85.
4. Déterminer u_n en fonction de n.
u_n=u_1 \times q^{n-1}
u_n=3570 \times 0,85^{n-1}
u_n=3570 \times 0,85^{n-1}
5. Déterminer le coût du 7ème jour de location de la salle de concert.
u_7=3570 \times 0,85^{7-1}
u_7=3570 \times 0,85^{6}
u_7=1346,42377078125
u_7=3570 \times 0,85^{6}
u_7=1346,42377078125
6. Combien de jours faut-il rester pour que la location de la salle coûte moins de 30€ .
Sur un tableur, on inscrit les indices et les prix dégressifs par jour et on s’aperçoit que le 31ème jour est en dessous de 30€.
u_31=3570 \times 0,85^{30}
u_31=27,24
u_31=3570 \times 0,85^{30}
u_31=27,24
7. Jerry veut organiser un premier concert en mars sur 4 jours. Combien va-t-il débourser pour ces 4 jours en arrondissant à l’unité.
S=u_1 \times \dfrac{0,85^{n}}{0,85-1}
S=3570 \times \dfrac{0,85^{4}}{0,85-1}
S=11376,2513
S=3570 \times \dfrac{0,85^{4}}{0,85-1}
S=11376,2513
8. Jerry veut organiser un festival en juillet dans cette salle sur 7 jours. Combien va-t-il débourser pour ces 7 jours en arrondissant à l’unité.
S=u_1 \times \dfrac{0,85^{n}}{0,85-1}
S=3570 \times \dfrac{0,85^{7}}{0,85-1}
S=16170,2653
S=3570 \times \dfrac{0,85^{7}}{0,85-1}
S=16170,2653
SG09 – Acheter ou louer
Faty et Jacques, deux jeunes parents, cherchent à déménager pour avoir plus d’espace et se rapprocher du centre-ville. Une agence immobilière leur propose un logement dont le loyer mensuel est de 720 € avec une augmentation prévisionnelle, liée à l’indice ICC, estimée à 3 % par an.
L’agence les informe que la propriétaire serait également disposée à leur vendre le bien pour 190 000 € (frais d’agence inclus). Envisageant de rester une vingtaine d’années dans cet appartement, le couple se demande s’il ne serait pas préférable d’acheter plutôt que de louer.
L’agence les informe que la propriétaire serait également disposée à leur vendre le bien pour 190 000 € (frais d’agence inclus). Envisageant de rester une vingtaine d’années dans cet appartement, le couple se demande s’il ne serait pas préférable d’acheter plutôt que de louer.
Jacques et Faty souhaitent connaître le montant total des loyers qu’ils auront à verser en 20 ans de location.
1. Proposer une méthode et un outil de résolution de cette situation problème.
– Il faut déterminer le montant total des loyers sur 20 années et comparer cette somme avec le montant de la vente soit 190 000 €.
– Pour cela il faut déterminer le montant annuel des loyers qui sera le premier terme de la suite géométrique de raison q = 1,03 (augmentation de 3%).
– Ensuite il faut calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite.
– On vérifie à l’aide d’un tableur ou de la calculatrice.
– Pour cela il faut déterminer le montant annuel des loyers qui sera le premier terme de la suite géométrique de raison q = 1,03 (augmentation de 3%).
– Ensuite il faut calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite.
– On vérifie à l’aide d’un tableur ou de la calculatrice.
2. Mettre en œuvre votre méthode de résolution.
2.a. Identifier le premier terme et la raison de cette suite géométrique.
Premier terme de la suite : u_1=12 \times 720=8640
Annuellement, Jacques et Faty vont payer 8640€.
Une augmentation de 3% est égale à un facteur multiplicateur 100%+3%=103%=1,03.
Raison de la suite : q=1,03
Annuellement, Jacques et Faty vont payer 8640€.
Une augmentation de 3% est égale à un facteur multiplicateur 100%+3%=103%=1,03.
Raison de la suite : q=1,03
2.b. Déterminer le prix des loyers de la deuxième année u_2.
u_2=u_1 \times 1.03=8899.2
Le prix du loyer sera la deuxième année de 8899,20€.
Le prix du loyer sera la deuxième année de 8899,20€.
2.c. Ecrire u_n en fonction de n.
u_n=u_1 \times q^n-1
u_n=8640 \times 1,03^n-1
u_n=8640 \times 1,03^n-1
2.d. Déterminer u_10 en arrondissant au centième près.
u_n=u_1 \times q^n-1
u_10=8640 \times 1,03^10-1
u_10=8640 \times 1,03^9
u_10=11273,24
u_10=8640 \times 1,03^10-1
u_10=8640 \times 1,03^9
u_10=11273,24
2.e. Déterminer la somme des 20 premiers termes de la suite.
Nombres de termes : 20
Premier terme : u_1=8640
Raison : q=1,03
Sommes des termes :
S=u_1 \times \frac{q^n-1}{q-1}=8640 \times \frac{1,03^{20}-1}{1,03-1}
S=232160,04
Premier terme : u_1=8640
Raison : q=1,03
Sommes des termes :
S=u_1 \times \frac{q^n-1}{q-1}=8640 \times \frac{1,03^{20}-1}{1,03-1}
S=232160,04
2.f. Vérifier le calcul de la somme à l’aide d’un tableur.
2.g. Conclure : quelle est la meilleure option : 20 ans de loyers ou l’achat ?
Le montant total des 20 années de loyer (232 160,04 €) est supérieur au prix de vente de l’appartement (190 000 €).
Faty et Jacques ont donc plutôt intérêt à acheter l’appartement.
Faty et Jacques ont donc plutôt intérêt à acheter l’appartement.
SG08 – Interrogation
Vocabulaire des suites géométriques
1. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?
| \Box | u_{n}=u_{1} \times q^n | \Box | u_{n}=u_{0} \times q^n |
| \Box | u_{n}=u_{0} \times q^{n-1} | \Box | u_{n}=u_{1} \times q^{n-1} |
2. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 7% ?
diminution :
1-t%=1-7%=1-0,07=0,93
1-t%=1-7%=1-0,07=0,93
3. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 4% ?
augmentation :
1+t%=1+4%=1+0,04=1,04
1+t%=1+4%=1+0,04=1,04
4. Quelles sont les 2 formules de la somme des n premiers termes avec u_0 et u_1 pour une suite géométrique ?
| \Box | S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1} | \Box | S=u_1 \times \dfrac{q^{n-1}-1}{q-1} |
| \Box | S=u_0 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1} | \Box | S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1} |
Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q
5. On donne u_{0}=200 et q=1,1, calculer u_{3}.
u_{n}=u_{0} \times q^n
u_{n}=200 \times {1,1}^n
u_{3}=200 \times {1,1}^3
u_{3}=266,2
u_{n}=200 \times {1,1}^n
u_{3}=200 \times {1,1}^3
u_{3}=266,2
6. On donne u_{1}=800 et q=0,87, calculer u_{6}.
u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
u_{n}=800 \times {0,87}^{n-1}
u_{6}=800 \times {0,87}^{6-1}
u_{6}=800 \times {0,87}^5
u_{6}=398,74
u_{n}=800 \times {0,87}^{n-1}
u_{6}=800 \times {0,87}^{6-1}
u_{6}=800 \times {0,87}^5
u_{6}=398,74
Calcul de la somme de n premiers termes d’une suite géométrique
7. On donne u_{0}=400 et q=1,78, calculer la somme des 7 premiers termes de la suite u_{n}.
S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}
S=400 \times \dfrac{1,78^{7+1}-1}{1,78-1}
S=400 \times \dfrac{1,78^{8}-1}{1,78-1}
S=51167,52
S=400 \times \dfrac{1,78^{7+1}-1}{1,78-1}
S=400 \times \dfrac{1,78^{8}-1}{1,78-1}
S=51167,52
8. On donne u_{1}=1000 et q=0,81, calculer la somme des 10 premiers termes de la suite u_{n}.
S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}
S=1000 \times \dfrac{0,81^{10}-1}{0,81-1}
S=4623,28
S=1000 \times \dfrac{0,81^{10}-1}{0,81-1}
S=4623,28
Premier problème sur les suites géométriques
9. Une entreprise prévoit une augmentation de production de 7% par an. En 2017, elle produit 1000 pièces. Calculer le nombre de pièces prévue en 2024 avec le vocabulaire des suites géométriques.
augmentation :
1+t%=1+7%=1+0,07=1,07=q
u_0=1000
La production va suivre les valeurs d’une suite géométrique de premier terme u_0=1000 et de raison q=1,07
Le rang 0 correspond à l’année 2017.
L’année 2024 correspond donc au rang 7. ( si vous prenez u_1=1000 alors le rang sera 8)
On nous demande ici le nombre de pièces prévues et non la somme des pièces vendues depuis le début…on applique alors :
u_{n}=u_{0} \times q^n
u_{n}=1000 \times {1,07}^n
u_{7}=1000 \times {1,07}^7
u_{7}=1000 \times {1,07}^7
u_{7}=1605,78
L’entreprise aura une production de 1605 pièces en 2024.
1+t%=1+7%=1+0,07=1,07=q
u_0=1000
La production va suivre les valeurs d’une suite géométrique de premier terme u_0=1000 et de raison q=1,07
Le rang 0 correspond à l’année 2017.
L’année 2024 correspond donc au rang 7. ( si vous prenez u_1=1000 alors le rang sera 8)
On nous demande ici le nombre de pièces prévues et non la somme des pièces vendues depuis le début…on applique alors :
u_{n}=u_{0} \times q^n
u_{n}=1000 \times {1,07}^n
u_{7}=1000 \times {1,07}^7
u_{7}=1000 \times {1,07}^7
u_{7}=1605,78
L’entreprise aura une production de 1605 pièces en 2024.
SG07 – QCM : Somme des n premiers termes d’une suite géométrique
Cliquer sur le bouton « Départ » pour commencer le QCM
QCM Calcul des n premiers termes d'une suite géométriques
Félicitation - vous avez complété QCM Calcul des n premiers termes d'une suite géométriques.
Vous avez obtenu %%SCORE%% sur %%TOTAL%%.
Votre performance a été évaluée à %%RATING%%
Vos réponses sont surlignées ci-dessous.
SG06 : Somme des n premiers termes d’une suite géométrique
Pour calculer la somme des n termes d’une suite arithmétique, il faut :
- Déterminer le nombre de termes de la suite.
- Connaître le premier terme u_0 ou u_1 et la raison.
Appliquer l’une des formules suivantes en fonction du premier terme u_0 :
S=u_0 \times\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}
ou u_1 :
S=u_1 \times\dfrac{q^{n}-1}{q-1}
Exercices d’application de la formule :
1.(u_n) une suite géométrique de premier terme u_0=2 et de raison q=3. Calculer la somme des 6 premiers termes.
On utilise ici la formule avec u_0 :
S=2 \times\dfrac{3^{6+1}-1}{3-1}=2 \times\dfrac{2187-1}{3-1}=2 \times 1093= 2186
S=2 \times\dfrac{3^{6+1}-1}{3-1}=2 \times\dfrac{2187-1}{3-1}=2 \times 1093= 2186
2. (v_n) une suite géométrique de premier terme v_1=3 et de raison q=2. Calculer la somme des 5 premiers termes.
On utilise ici la formule avec u_1 ou plus précisément ici v_1 :
S=3 \times\dfrac{2^{5}-1}{2-1}=3 \times\dfrac{32-1}{2-1}=3 \times 31= 93
S=3 \times\dfrac{2^{5}-1}{2-1}=3 \times\dfrac{32-1}{2-1}=3 \times 31= 93
2. (w_n) une suite géométrique de premier terme w_1=128 et de raison q=\dfrac{1}{2}. Calculer la somme des 5 premiers termes.
On utilise ici la formule avec u_1 ou plus précisément ici w_1 :
S=128 \times\dfrac{(\dfrac{1}{2})^{5}-1}{\dfrac{1}{2}-1}
S=128 \times\dfrac{0,03125-1}{-0,5}=128 \times 1,9375= 248
S=128 \times\dfrac{(\dfrac{1}{2})^{5}-1}{\dfrac{1}{2}-1}
S=128 \times\dfrac{0,03125-1}{-0,5}=128 \times 1,9375= 248
SG05 : Watt
Les ampoules de 40 W « classiques » étant remplacées par les ampoules LED, l’entreprise décide de diminuer sa production de 6% par mois à partir du mois de février 2017. La production prévue P_1 pour janvier 2017 est 10 000 ampoules.
1. Calculer la production P_2 pour février 2017.
Une diminution de 6% correspond à une multiplication de (1-t%) :
1-t%=1-6%=1-0,06=0,94
On multiplie donc par 0,94 la production de janvier pour connaître celle de février.
P_2=P_1 \times 0,94=10000 \times 0,94=9400
1-t%=1-6%=1-0,06=0,94
On multiplie donc par 0,94 la production de janvier pour connaître celle de février.
P_2=P_1 \times 0,94=10000 \times 0,94=9400
2. Calculer la production P_3 pour mars 2017.
On multiplie donc par 0,94 la production de février pour connaître celle de mars.
P_3=P_2 \times 0,94=9400 \times 0,94=8836
P_3=P_2 \times 0,94=9400 \times 0,94=8836
3. Vérifier que les productions P_1,P_2,P_3 sont les trois premiers termes d’une suite géométrique dont on déterminera la raison q.
On multiplie par 0,94 de terme en terme P_2=P_1 \times 0,94 et P_3=P_2 \times 0,94. C’est une suite géométrique de premier terme P_1=10000 et de raison q=0,94.
4. Déterminer P_n en fonction de n
On applique la formule u_n=u_1 \times q^{n-1} avec les données de la suite géométrique P_n.
P_n=P_1 \times q^{n-1}
enfin
P_n=10000 \times (0,94)^{n-1}
P_n=P_1 \times q^{n-1}
enfin
P_n=10000 \times (0,94)^{n-1}
5. Calculer la production en décembre 2017.
Passage du mois au rang de la suite : Comme P_1 correspond au mois de janvier 2017, P_{12} correspond au mois de décembre 2017.
On applique la formule P_n=10000 \times (0,94)^{n-1} avec n=12.
P_{12}=10000 \times (0,94)^{12-1}
enfin
P_{12}=10000 \times (0,94)^{11}=4759
La production en décembre 2017 sera de 4759 ampoules.
On applique la formule P_n=10000 \times (0,94)^{n-1} avec n=12.
P_{12}=10000 \times (0,94)^{12-1}
enfin
P_{12}=10000 \times (0,94)^{11}=4759
La production en décembre 2017 sera de 4759 ampoules.
6. L’entreprise stoppera sa production quand la production sera inférieure à 1500 ampoules. Donner la date de l’arrêt de la production.
On utilisera pour cela un tableur ou une calculatrice pour trouver le rang de la suite correspondant à une valeur de 1500 et on trouve rapidement le rang 30 correspondant juin 2019.
7. Calculer la production totale d’ampoules prévue pour l’année 2017. Arrondir à l’unité.
On applique ici la formule de la somme des 12 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme P_1=10000 et de raison q=0,94.
S=P_1 \times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{n}}{1-0,94}
enfin pour les 12 premiers mois qui forme l’année
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{12}}{1-0,94}=87246,61
La production pour l’année 2017 sera de 87 246 ampoules.
S=P_1 \times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{n}}{1-0,94}
enfin pour les 12 premiers mois qui forme l’année
S=10000 \times \dfrac{1-(0,94)^{12}}{1-0,94}=87246,61
La production pour l’année 2017 sera de 87 246 ampoules.
SG04 – Problème et somme
Pour financer l’achat de cinq machines à commande numérique, l’entreprise Alpha-Usinage contracte un emprunt sur 10 ans. Chaque versement annuel augmente de 5 % par rapport au précédent. La première annuité est de 20 000 €. Le comptable de l’entreprise veut connaître le montant total du remboursement de cet emprunt.
Définition : Une annuité est une somme d’argent versée annuellement par un emprunteur pour rembourser une dette. Elle est constituée d’une partie du capital emprunté, ainsi que des intérêts dus. Elle peut être variable ou constante d’une année à l’autre.
Définition : Une annuité est une somme d’argent versée annuellement par un emprunteur pour rembourser une dette. Elle est constituée d’une partie du capital emprunté, ainsi que des intérêts dus. Elle peut être variable ou constante d’une année à l’autre.
A. Calcul des annuités
Soit u_1, u_2, …, u_{10} les montants des dix annuités.
1. Calculer le montant de la deuxième annuité u_2.
u_2=20 000+(20000 \times 5 \%)=20000+20000 \times 0,05
u_2=20000 \times 1,05
u_2=21000
u_2=20000 \times 1,05
u_2=21000
2. Calculer le montant de la troisième annuité u_3.
u_3=21 000+(21000 \times 5 \%)=21000+21000 \times 0,05
u_3=21000 \times 1,05
u_3=22050
u_3=21000 \times 1,05
u_3=22050
3. Calculer le montant de la quatrième annuité u_4.
u_4=22050+(22050 \times 5 \%)= 22050+22050 \times 0,05
u_4=22050 \times 1,05
u_4=23152,5
u_4=22050 \times 1,05
u_4=23152,5
4. Calculer \dfrac{u_4}{u_3}, \dfrac{u_3}{u_2} et \dfrac{u_2}{u_1}
\dfrac{u_4}{u_3}=\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{u_2}{u_1}=1,05
5. Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Justifier et précisant la raison de cette suite.
On multiplie chaque terme par 1,05 pour trouver la valeur du terme suivant. C’est donc une suite géométrique de raison q = 1,05.
6. Exprimer u_{n} en fonction de n.
u_{n}=u_1 \times q^{n-1}
u_{n}=20000 \times 1,05^{n-1}
u_{n}=20000 \times 1,05^{n-1}
7. Calculer u_{10}.
On remplace n par 10 dans l’équation trouvée plus haut :
u_{10}=20000 \times 1,05^{10-1}
u_{10}=20000 \times 1,05^{9}
u_{10}=31026,56
Dans 10 ans, l’annuité sera alors de 31026,56 €.
u_{10}=20000 \times 1,05^{10-1}
u_{10}=20000 \times 1,05^{9}
u_{10}=31026,56
Dans 10 ans, l’annuité sera alors de 31026,56 €.
B. Montant total du remboursement
Sur une feuille de calcul d’un tableur, reproduire la tableau représenté ci-dessus. Pour cela, saisir :
1. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule C3 ?
C3=C2 \times 1.05
2. Compléter le tableau jusqu’à la dixième annuité.
3. Déterminer la somme à l’aide de la fonction «somme» du tableur des dix annuités.
On utilisera la fonction =somme() pour calculer la somme des 10 annuités. On trouve alors S=251557,85 en arrondissant au centième.
L’entreprise aura alors remboursée 251558 € de son emprunt au bout de 10 ans.
On verra juste après qu’une formule existe pour calculer n’importe quelle somme de n termes pour une suite géométrique.
L’entreprise aura alors remboursée 251558 € de son emprunt au bout de 10 ans.
On verra juste après qu’une formule existe pour calculer n’importe quelle somme de n termes pour une suite géométrique.
SG03 – Cours sur les suites géométriques
Définition
Une suite géométrique est une suite de nombres qui commence par un premier nombre, le premier terme, à laquelle on multiplie toujours le même nombre q appelée raison pour ne pas confondre avec r la raison arithmétique.
Exemple :
2,4,8,16,32 est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2 car on commence par 2 et on multiplie par 2 à chaque terme. 4 est le second terme,…
Notation
Pour les suites, on utilisera la notation u_n où u représente une suite (comme f représente une fonction) et n en indice est le rang de cette suite ou le classement de ce terme dans la suite.
Exemple :
u_2 représente le second terme, u_{15} le quinzième et u_n le n-ième.
On utilisera les notations suivantes :
Pour le terme précédent de le n-ième terme : u_{n-1}
Pour le terme suivant de le n-ième terme : u_{n+1}
On utilisera les notations suivantes :
Pour le terme précédent de le n-ième terme : u_{n-1}
Pour le terme suivant de le n-ième terme : u_{n+1}
Définition
Le terme u_n de rang n d’une suite géométrique peut être déterminé à l’aide du terme précèdent u_{n-1} et de la raison q :
u_n=u_{n-1} \times q
u_n=u_{n-1} \times q
Définition
Le terme u_{n+1} de rang n+1 d’une suite géométrique peut être déterminé à l’aide du terme précédent u_n et de la raison q :
u_{n+1}=u_{n} \times q
u_{n+1}=u_{n} \times q
Exemple :
Pour la suite 2,4,8,16,32 : u_1=2 , u_2=u_1 \times 2=4 , …
Définition :
Pour une suite géométrique de raison q, tout terme de rang n ou n-ième terme peut s’écrire de la forme :
u_{n}=u_{0} \times q^n
ou
u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
u_{n}=u_{0} \times q^n
ou
u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
Entraînement :
https://www.thatquiz.org/fr-2/?-j100h-l2-mpnv600-p0
Exemple :
Pour la suite 2,4,8,16,32 de raison q=2 et u_1=2 , u_2=u_1 \times 2^{2-1}=2 \times 2^{1}=4 , … , u_5=u_1 \times 2^{5-1}=2 \times 2^{4}=32
Exercices :
Soit la suite géométrique avec comme premier terme u_0=3 et q=2.
Calculer u_1 et fonction de u_2.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.
Calculer u_1 et fonction de u_2.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.
Soit la suite géométrique avec comme premier terme u_1=2 et q=3.
Calculer u_2 et fonction de u_3.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.
Calculer u_2 et fonction de u_3.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.
Soit la suite géométrique avec comme premier terme u_1=64 et q=\dfrac{1}{4}.
Calculer u_2 et fonction de u_3.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.
Calculer u_2 et fonction de u_3.
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_5.
Soit la suite géométrique avec u_3=9 et u_5=81.
En déduire q.
Calculer ensuite u_1
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_6.
En déduire q.
Calculer ensuite u_1
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_6.
Soit la suite géométrique avec u_4=16 et u_6=4.
En déduire q.
Calculer ensuite u_1
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_8.
En déduire q.
Calculer ensuite u_1
Calculer u_n en fonction de n.
Calculer u_8.