Archives de catégorie : Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction
FD10 – Troisième problème
L’entreprise C.S.I.I. produit des articles du domaine informatique pour l’Europe.
Le coût de production C(n) exprimé en milliers d’euro pour n articles est donné par la fonction C avec : C(n)=0,02n^2-2n+98 pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le montant des ventes V(n) exprimé en milliers d’euro est pour sa part donné par la fonction V avec V(n)=1,5n pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le coût de production C(n) exprimé en milliers d’euro pour n articles est donné par la fonction C avec : C(n)=0,02n^2-2n+98 pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Le montant des ventes V(n) exprimé en milliers d’euro est pour sa part donné par la fonction V avec V(n)=1,5n pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
1. Compléter le tableau suivant :
| n | 50 | 60 | 75 | 90 | 100 | 125 | 150 |
| C(n) | … | 50 | … | … | 98 | … | 248 |
C(50)=48
C(75)=60,5
C(90)=80
C(125)=160,5
C(75)=60,5
C(90)=80
C(125)=160,5
2. Tracer dans le même repère à l’aide de Géogébra les courbes représentant les fonctions C et V.
3. Déterminer graphiquement l’intervalle des valuers de n pour lesquelles la production est rentable.
La production est rentable quand V est au-dessus de C donc sur l’intervalle [50 ; 140]
4. Le bénéfice B(n) est donné par la fonction B pour n appartenant à l’intervalle [50 ; 150].
Exprimer B(n) en fonction de n et déterminer la dérivée B'(n).
Exprimer B(n) en fonction de n et déterminer la dérivée B'(n).
B(n)=V(n)-C(n)
B(n)==1,5n-(0,02n^2-2n+98)
B(n)=-0,02n^2+3,5n-98
B'(n)=-0,04n+3,5
B(n)==1,5n-(0,02n^2-2n+98)
B(n)=-0,02n^2+3,5n-98
B'(n)=-0,04n+3,5
5. En déduire le nombre d’articles à vendre pour que le bénéfice soit maximum.
B'(n)=0
-0,04n+3,5=0
-0,04n=-3,5
n=87,5
Le nombre d’article est maximum pour n=87,5 car la fonction B est une fonction carrée et sa dérivée change de signe en n=87,5.
-0,04n+3,5=0
-0,04n=-3,5
n=87,5
Le nombre d’article est maximum pour n=87,5 car la fonction B est une fonction carrée et sa dérivée change de signe en n=87,5.
FD09 – Deuxième problème
Pour contrer l’offensive du commerce sur Internet dans le domaine de la cosmétique, le salon SANTÉ-BEAUTÉ a investi, depuis 4 ans, dans la publicité et l’aménagement de son point de vente. Le responsable du salon a constaté que pour une somme investie s (exprimée en k€), le résultat R réalisé, vérifie la formule R(s)=-6s^2+60s+12 pour
1.Calculer le résultat pour une somme investie de 3 k€.
R(s)=-6(3)^2+6(3)+12
R(s)=138
R(s)=138
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1,5;6] par : f(x)=-6x^2+60x+12
2.a. Soit f' la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [1,5;6]. Calculer f'(x).
f'(x)=-12x+60
2.b. Résoudre l’équation f'(x)=0.
-12x+50=0
-12x=-60
x=\dfrac{-60}{-12}
x=5
-12x=-60
x=\dfrac{-60}{-12}
x=5
2.c. Compléter le tableau de variation de la fonction f.
| x | |
| f'(x) | |
| f(x) |
2.d. En utilisant le logiciel Géogébra, représenter graphiquement la fonction f.
2.e. Donner le maximum de la fonction f sur [1,5 ; 6].
f(5)=-6(5)^2+(5)x+12
f(5)=162
f(5)=162
3. En utilisant les réponses précédentes, donner le montant de l’investissement (en euros) qui permet d’obtenir un résultat maximum.
Le montant de l’investissement (en euros) qui permet d’obtenir un résultat maximum est s=5
FD08 – Premier problème
Après avoir transformé ses magasins, une chaîne s’intéresse au lancement d’une nouvelle ligne de produits biologiques sur le marché.
Pour faire connaitre ces produits, les dirigeants décident de créer une pochette « découverte » qui sera proposée au prix de 2 €.
On étudie la rentabilité de cette opération sur une journée sachant qu’au maximum 400 pochettes peuvent être fabriquées chaque jour.
Pour faire connaitre ces produits, les dirigeants décident de créer une pochette « découverte » qui sera proposée au prix de 2 €.
On étudie la rentabilité de cette opération sur une journée sachant qu’au maximum 400 pochettes peuvent être fabriquées chaque jour.
1) Calculer la recette réalisée dans le cas de :
a) 100 pochettes vendues par jour.
b) 400 pochettes vendues par jour.
a) 100 pochettes vendues par jour.
b) 400 pochettes vendues par jour.
La recette est égale au nombre de pochettes vendus multipliées par le coût 2€.
a) 100 pochettes : 100 \times 2=200
b) 400 pochettes : 400 \times 2=800
a) 100 pochettes : 100 \times 2=200
b) 400 pochettes : 400 \times 2=800
2) On note R la recette journalière et n le nombre de pochettes vendues par jour.
Exprimer R(n) en fonction de n.
Exprimer R(n) en fonction de n.
R(n)=2n
3. Le coût de fabrication journalier, en euros, de cette pochette est modélisé par la fonction f
définie sur l’intervalle [0;400] telle que f(x)=-0,01x^2+5x+10.
définie sur l’intervalle [0;400] telle que f(x)=-0,01x^2+5x+10.
a. Déterminer f'(x).
f'(x)=-0,02x+5
b. Résoudre l’inéquation f'(x)>0.
f'(x)>0 correspond à -0,02x+5>0
donc -0,02x>-5
donc x<\dfrac{5}{0,02} ou x<250 soit I=[0;250[
donc -0,02x>-5
donc x<\dfrac{5}{0,02} ou x<250 soit I=[0;250[
c. Compléter le tableau de variations.
4. A l’aide de Géogébra, tracer dans le repère suivant les représentations graphique de f(x)=-0,01x^2+5x+10 et y=2x sur l’intervalle [0;400] puis le point d’intersection de ces représentations graphiques.
5. Donner, en justifiant votre réponse, le nombre minimum de pochettes qu’il est nécessaire de vendre pour que l’opération soit rentable.
Le nombre minimum de pochettes doit être de 304 car les deux représentations graphiques se croisent en ce point.
FD07 – Premier exercice complet et problème
On considère la fonction f définie sur l’intervalle I=[18;40] par : f(x)=-1,5x^2+84x-950
1) Calculer f'(x) où f' désigne la dérivée de la fonction f.
2) Étudier le signe de f'(x) sur l’intervalle I=[18;40].
3) Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle I=[18;40].
4) En déduire la valeur de x pour laquelle la fonction f admet un maximum.
Dans une grande surface, un samedi, le nombre de clients N(t) présents dans le magasin en fonction de l’heure t est donné par :
N(t)=-5t^3+225t^2-3240t+15250 Les heures sont dans l’intervalle I=[10;20]
1) Compléter le tableau de valeurs de la fonction N situé ci-dessous.
N(t)=-5t^3+225t^2-3240t+15250 Les heures sont dans l’intervalle I=[10;20]
1) Compléter le tableau de valeurs de la fonction N situé ci-dessous.
| t | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| N(t) | 350 | 400 | 450 |
2) Placer les points correspondants dans le repère situé ci-après. Tracer la courbe représentative de la fonction N sur l’intervalle I=[10;20].
3) Déterminer graphiquement le nombre de clients présents à 15 heures 30 minutes. Laisser apparents les traits permettant la lecture graphique.
4) Soit N' la fonction dérivée de N. Déterminer N'(t).
5) Vérifier que N'(t)=0 équivaut à t^2-30t+216=0.
6) Résoudre cette équation.
7) Compléter le tableau de variation situé ci-dessous.
8) Déduire des résultats précédents l’heure à laquelle il faut prévoir un maximum de caissières pour fluidifier le passage aux caisses.
FD06 – Tableau de variation
Afin de résumer toutes les variations d’une fonction, il faut élaborer un tableau de variation.
① Ce tableau se base sur l’ensemble de définition I de la fonction qui vous sera donné.
Dans ce tableau de variation doit figurer les abscisses de I ainsi que les valeurs particulières qui annulent la dérivée.
① Ce tableau se base sur l’ensemble de définition I de la fonction qui vous sera donné.
Dans ce tableau de variation doit figurer les abscisses de I ainsi que les valeurs particulières qui annulent la dérivée.
| x | -\infty | -1 | 0 | 2 | +\infty |
﹖⃝Ici l’ensemble de définition est ]-\infty;+\infty[ avec 3 valeurs particulières -1;0;2.
—————–
② On doit y trouver aussi une étude du signe de la dérivée.
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
﹖⃝Ici le signe de la dérivée change aux valeurs particulières -1;0;2.
—————–
③ Et enfin les variations de la fonction symbolisées par des flèches.
On en conclut les variations de la fonctions avec des flèches montantes pour de la croissance, descendante pour de la décroissance et horizontale pour la constance.
⚠ N’oubliez d’inscrire les valeurs des images des valeurs particulières par la fonction f.
Tableau de variation de la fonction f(x)=3x^2+12x-5 définie sur l’intervalle I=[-5;2]
① On calcule la dérivée de la fonction f : f'(x)=6x+12
② On résout l’équation f'(x)=0 : 6x+12=0 ou x=-2
La dérivée s’annule donc en -2, la fonction change de signe en ce point.
③ On étudie le signe de la dérivée de f :
f'(x)>0 quand x>-2
f'(x)<0 quand x<-2 On résume :
① On calcule la dérivée de la fonction f : f'(x)=6x+12
② On résout l’équation f'(x)=0 : 6x+12=0 ou x=-2
La dérivée s’annule donc en -2, la fonction change de signe en ce point.
③ On étudie le signe de la dérivée de f :
f'(x)>0 quand x>-2
f'(x)<0 quand x<-2 On résume :
| f'(x) | - | 0 | + |
④ On calcule les valeurs des images des valeurs particulières.
f(-5)=3(-5)^2+12(-5)-5=10
f(-2)=3(-2)^2+12(-2)-5=-17
f(2)=3(2)^2+12(2)-5=31
⑤ On construit les flèches associées aux signes de la dérivées.
⑥ On obtient :
① Réaliser le tableau de variation de la fonction f(x)=-x^2+3x-2 sur I=[-1;4]
② Réaliser le tableau de variation de la fonction f(x)=x^2+4x-2 sur I=[-4;1]
FD05 – Applications à l’étude des variations d’une fonction
Signe de la dérivée et variations
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
Si f'(x)>0 alors la fonction est croissante sur I.
Si f'(x)=0 alors la fonction est constante sur I.
Si f'(x)<0 alors la fonction est décroissante sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 or f'(x)>0 donc f est croissante.
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 or f'(x)>0 donc f est croissante.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f(x)=-3x alors f'(x)=-3 or f'(x)<0 donc f est décroissante.
Si f(x)=-3x alors f'(x)=-3 or f'(x)<0 donc f est décroissante.
Recherche d’extremum
SI pour une valeur x_0 appartenant à l’intervalle I, f'(x_0) s’annule en changeant de signe alors la fonction f passe par un extremum (minimum ou maximum) pour x=x_0.
SI pour une valeur x_0 appartenant à l’intervalle I, f'(x_0) s’annule en changeant de signe alors la fonction f passe par un extremum (minimum ou maximum) pour x=x_0.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I telle que f(x)=x^2.
f'(x)=2x
Si x<0 alors f'(x)<0 donc la fonction est décroissante.
Si x=0 alors f'(x)=0 donc la fonction est constante.
Si x>0 alors f'(x)>0 donc la fonction est croissante.
La fonction f(x)=x^2 s’annule en x_0=0 en changeant de signe donc x_0=0 est un extremum ici un minimum.
f'(x)=2x
Si x<0 alors f'(x)<0 donc la fonction est décroissante.
Si x=0 alors f'(x)=0 donc la fonction est constante.
Si x>0 alors f'(x)>0 donc la fonction est croissante.
La fonction f(x)=x^2 s’annule en x_0=0 en changeant de signe donc x_0=0 est un extremum ici un minimum.
1.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[-2;2] telle que f(x)=-3x^2.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
2.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathbb{R} telle que f(x)=-4x^3.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
3.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathbb{R^+*} telle que f(x)=-\sqrt{x}.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer les variations de la fonction f.
4.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[1;7] telle que f(x)=\dfrac{-3}{x}.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
5.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I=[-1;3] telle que f(x)=x^2-2x+1.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
A l’aide du calcul de la dérivée, déterminer un extremum.
FD04 – QCM Dérivées
Cliquer sur le bouton « Départ » pour commencer le QCM
QCM Dérivées
Calculez les dérivées des fonctions suivantes
Félicitation - vous avez complété QCM Dérivées.
Vous avez obtenu %%SCORE%% sur %%TOTAL%%.
Votre performance a été évaluée à %%RATING%%
Vos réponses sont surlignées ci-dessous.
FD03B – Exercices calcul de dérivées
① Calculer la dérivée de f(x)=-3x
f'(x)=-3 -> Fonction affine + règle kf
② Calculer la dérivée de f(x)=-2x^2
f'(x)=-4x -> Fonction carrée + règle kf
③ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{-6}{x}
f'(x)=\dfrac{6}{x^2} -> Fonction inverse + règle kf
④ Calculer la dérivée de f(x)=6\sqrt{x}
f'(x)=\dfrac{6}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3}{\sqrt{x}} -> Fonction racine carrée + règle kf
⑤ Calculer la dérivée de f(x)=3x^2+5x-2
f'(x)=6x+5 -> règle f+g
⑥ Calculer la dérivée de f(x)=-x^3+8x+12
f'(x)=-3x^2+5 -> règle f+g
⑦ Calculer la dérivée de f(x)=x^3-2x^2+3x-9
f'(x)=3x^2-4x+3 -> règle f+g
⑧ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{3x^2+2x-2}{x}
f(x)=\dfrac{3x^2}{x}+\dfrac{2x}{x}-\dfrac{2}{x}
f(x)=3x+2-\dfrac{2}{x}
f'(x)=3+\dfrac{2}{x^2} -> règle f+g
f(x)=3x+2-\dfrac{2}{x}
f'(x)=3+\dfrac{2}{x^2} -> règle f+g
⑨ Calculer la dérivée de f(x)=(x-2)(-x+5)
f(x)=-x^2+5x+2x-10
f(x)=-x^2+7x-10
f'(x)=-2x+7 -> règle f+g
f(x)=-x^2+7x-10
f'(x)=-2x+7 -> règle f+g
⑩ Calculer la dérivée de f(x)=4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)
f(x)=4\sqrt{x} \times \sqrt{x}+4\sqrt{x} \times 2
f(x)=4x+8\sqrt{x}
f'(x)=4+\dfrac{4}{\sqrt{x}} -> règle f+g
f(x)=4x+8\sqrt{x}
f'(x)=4+\dfrac{4}{\sqrt{x}} -> règle f+g
FD-03A : Exercices calcul de dérivées
① Calculer la dérivée de f(x)=-5x
② Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{1}{2}x^2
③ Calculer la dérivée de f(x)=4x^3
④ Calculer la dérivée de f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3
⑤ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{3}{x}
⑥ Calculer la dérivée de f(x)=x+\dfrac{1}{x}
⑦ Calculer la dérivée de f(x)=x^2-5x+1
⑧ Calculer la dérivée de f(x)=x^3+2x+1
⑨ Calculer la dérivée de f(x)=2x^2-\dfrac{1}{x}
⑩ Calculer la dérivée de f(x)=x^3+5x^2+4x+3
⑪ Calculer la dérivée de f(x)=(x+1)(x+2)
⑫ Calculer la dérivée de f(x)=\dfrac{4x^2+1}{x}
FD02 – Calcul de dérivées
Fonction dérivable sur un intervalle I
Étant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction f en x est appelée fonction dérivée de la fonction f sur I et est notée f'.
Étant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction f en x est appelée fonction dérivée de la fonction f sur I et est notée f'.
Un intervalle I peut se présenter sous différentes sortes : I=[0;5], I=]-\infty;5] ou encore I=]-2;+\infty[.
I=\mathbb{R} représente l’ensemble des réels et I=\mathbb{R}^+ représente l’ensemble des réels positifs.
I=\mathbb{R} représente l’ensemble des réels et I=\mathbb{R}^+ représente l’ensemble des réels positifs.
Tableau récapitulatif des dérivées usuelles
| Fonction | Expression | Fonction dérivée |
| Constante | a | 0 |
| Affine | ax+b | a |
| Carrée | x^2 | 2x |
| Cube | x^3 | 3x^2 |
| Inverse | \dfrac{1}{x} | -\dfrac{1}{x^2} |
| Racine carrée | \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} |
Si f(x)=4 alors f'(x)=0 => Fonction constante
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 => Fonction linéaire
Si f(x)=2x+4 alors f'(x)=2 => Fonction affine (=fonction linéaire + fonction constante)
Si f(x)=x^2 alors f'(x)=2x => Fonction carrée
Si f(x)=x^3 alors f'(x)=3x^2 => Fonction cube
Si f(x)=\dfrac{1}{x} alors f'(x)=-\dfrac{1}{x^2} => Fonction inverse
Si f(x)=\sqrt{x} alors f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} => Fonction racine carrée
Si f(x)=2x alors f'(x)=2 => Fonction linéaire
Si f(x)=2x+4 alors f'(x)=2 => Fonction affine (=fonction linéaire + fonction constante)
Si f(x)=x^2 alors f'(x)=2x => Fonction carrée
Si f(x)=x^3 alors f'(x)=3x^2 => Fonction cube
Si f(x)=\dfrac{1}{x} alors f'(x)=-\dfrac{1}{x^2} => Fonction inverse
Si f(x)=\sqrt{x} alors f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} => Fonction racine carrée
Règles de dérivation 1 : Fonction multipliée par un réel
Étant donnée deux fonctions f et h dérivables sur un intervalle I et un réel k telles que h=k \times f et , la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à k \times f'.
Étant donnée deux fonctions f et h dérivables sur un intervalle I et un réel k telles que h=k \times f et , la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à k \times f'.
Si h(x)=2x alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=2 et f(x)=x or f'(x)=1.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=2 \times 1=2.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=2 \times 1=2.
Si h(x)=3x^2 alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=3 et f(x)=x^2 or f'(x)=2x.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=3 \times 2x=6x.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=3 \times 2x=6x.
Si h(x)=5\sqrt{x} alors on peut écrire h(x)=k \times f(x) avec k=5 et f(x)=\sqrt{x} or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}.
On en déduit que h'(x)=k \times f'(x)=5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}.
Règles de dérivation 2 : Addition de deux fonctions
Étant donnée trois fonctions f,g et h dérivables sur un intervalle I et telles que h=f+g, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à f'+g'.
Étant donnée trois fonctions f,g et h dérivables sur un intervalle I et telles que h=f+g, la fonction qui à tout nombre x de I associe le nombre dérivé de la fonction h en x est appelée fonction dérivée de la fonction h sur I et est notée h' et est égale à f'+g'.
Si h(x)=2x+4 alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=2x et g(x)=4
or f'(x)=2 et g'(x)=0. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+0=2.
or f'(x)=2 et g'(x)=0. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+0=2.
Si h(x)=x^3+x^2 alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=x^3 et g(x)=x^2
or f'(x)=3x^2 et g'(x)=2x. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=3x^2+2x.
or f'(x)=3x^2 et g'(x)=2x. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=3x^2+2x.
Si h(x)=\dfrac{1}{x}+2x alors on peut écrire h(x)=f(x)+g(x) avec f(x)=\dfrac{1}{x} et g(x)=2x
or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} et g'(x)=2. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2.
or f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} et g'(x)=2. On en déduit que h'(x)=f'(x)+g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2.
Lors de plusieurs additions de fonctions, on applique la règle sur la dérivée de l’addition de deux fonctions plusieurs fois.
h(x)=2x^3-x^2+3x-2 donne h'(x)=6x^2-2x+3
h(x)=2x^3-x^2+3x-2 donne h'(x)=6x^2-2x+3
FD01 : Approche de la dérivée
Pour étudier les variations d’une fonction, nous avions jusqu’ici la possibilité de réaliser :
– à partir de son expression algébrique
f(x)=2x^3+2
– sa représentation graphique :
– et son tableau de valeurs :
– à partir de son expression algébrique
f(x)=2x^3+2
– sa représentation graphique :
– et son tableau de valeurs :
Quoi de neuf en terminale ?
Prenons ce rugbyman qui tape dans un ballon :
Plusieurs trajectoires sont possibles :
La trajectoire peut être modélisée par une fonction numérique. Cette année, nous allons pouvoir prévoir les variations de la fonction numérique (ici la trajectoire).
On va s’aider des tangentes en plusieurs points à la trajectoire du ballon.
Pour être plus précis, on va multiplier les points de la trjectoire…
et calculer les tangentes.
On a donc réussi à affiner la trajectoire du ballon.
Toute représentation graphique peut être approchée par une succession de tangentes en chaque point de la courbe.
Les tangentes sont intéressantes car ce sont des droites donc faciles à étudier en mathématiques.
Les droites,représentations graphiques, ont été étudiées en seconde par leur fonction, la fonction affine f(x)=ax+b.
Une droite se caractérise avant tout par son coefficient directeur a qui nous indique si la droite est croissante ou décroissante.
Les tangentes sont intéressantes car ce sont des droites donc faciles à étudier en mathématiques.
Les droites,représentations graphiques, ont été étudiées en seconde par leur fonction, la fonction affine f(x)=ax+b.
Une droite se caractérise avant tout par son coefficient directeur a qui nous indique si la droite est croissante ou décroissante.
Revenons une dernière fois sur notre rugbyman :
On voit que les tangentes ont un coefficient directeur positif quand la trajectoire monte et qu’elles ont un coefficient directeur négatif quand la trajectoire descend.
De plus lorsqu’on arrive au sommet de la trajectoire, le coefficient directeur de la tangente parallèle au sol (axe des abscisses) est nul.
Connaître le signe des coefficients directeurs des tangentes permet donc de déterminer les variations de la trajectoire.
– signe positif : trajectoire croissante
– signe nul : trajectoire constante
– signe négatif : trajectoire décroissante
C’est ce coefficient directeur de tangente que l’on appellera maintenant le nombre dérivé.
Il y autant de nombres dérivées que de tangentes possibles en chaque point de la courbe.
L’ensemble des nombres dérivés sont obtenus grâce à la fonction dérivée de la fonction numérique étudiée.
– signe positif : trajectoire croissante
– signe nul : trajectoire constante
– signe négatif : trajectoire décroissante
C’est ce coefficient directeur de tangente que l’on appellera maintenant le nombre dérivé.
Il y autant de nombres dérivées que de tangentes possibles en chaque point de la courbe.
L’ensemble des nombres dérivés sont obtenus grâce à la fonction dérivée de la fonction numérique étudiée.
x \mapsto f'(x)
On dit « f prime de x ».
D02 – Cours
Notion de fonction dérivée
On définit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
On appelle fonction dérivée de f (notée {f'}) la fonction qui associe, à toute valeur x de I, le nombre dérivé de f en x.
On appelle fonction dérivée de f (notée {f'}) la fonction qui associe, à toute valeur x de I, le nombre dérivé de f en x.
De la même façon que l’on définit une fonction continue sur un intervalle I, on définit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour certaines fonctions, la fonction dérivée n’existe pas en certains points. L’intervalle I permet de les enlever.
Pour mémoire, un intervalle s’écrit sous la forme \left [ 2,4 \right ] ou \left ] 2,+\infty \right[ .
Fonctions dérivées des fonctions de référence
| Si f(x)= | alors {f'}(x)= |
|---|---|
| ax+b | a |
| x^2 | 2x |
| x^3 | 3x^2 |
| \frac{1}{x} | \frac{-1}{x^2} |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2 \sqrt{x}} |
| x^{a} | ax^{a-1} |
D01 – Approche par la tangente
Ouvrir Géogébra
Dans la zone de saisie, entrer f(x)=x^2
1.Quelle est la fonction saisie ?
C’est la fonction carrée.
2.Quelles sont ses caractéristiques graphiques ?
La fonction est symétrique par rapport à x=0. Elle est donc décroissante jusqu’à 0 puis croissante après 0.
Dans la zone de saisie, entrer les points (1,1) (2,4) (3,9) (-1,1) (-2,4) (-3,9)
3.Les points appartiennent-ils à la courbe ?
f(1)=1 f(2)=4 f(3)=9 et par symétrie f(-1)=1 f(-2)=4 f(-3)=9
En appuyant sur le 4ème bouton, choisir « Tangentes » pour connaître l’équation de la tangente d’une courbe en un point. Déterminer les équations des tangentes des différents points A,B,C puis D,E,F.
Procédure : Pour chaque point, il faut cliquer sur ce point et la courbe. Des équations de type affine y=ax+b vont apparaître dans la zone de saisie…Pour mémoire : a est le coefficient directeur d’une équation affine.
4.Compléter le tableau suivant :
| Points | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Coefficient directeur | 2 | 4 | 6 | -2 | -4 | -6 |
On note {f'(x)} le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C au point d’abscisse x.
5.Compléter le tableau suivant :
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f‘(x) | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
6. A l’aide des résultats du tableau remplissez en conjecturant le tableau suivant :
| x | -3,5 | -2,5 | -2 | 0 | 2 | 4 | 8 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f‘(x) | -7 | -5 | -4 | 0 | 4 | 8 | 16 | 50 |
7. Plus généralement, pour tout nombre x, conjecturer la formule donnant {f'(x)} en fonction de x :
\Box \quad {f'(x)}=2+x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=x^2
La formule qui paraît logique au vue des résultats obtenus est : {f'(x)}=2x
La fonction x \mapsto 2x est la dérivée de la fonction f(x), notée {f'(x)}.
C’est à vous
Avec la même procédure, trouver la dérivée de la fonction f(x)=x^3.
\Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x^2 \quad \Box \quad {f'(x)}=3x^2
Indice : Choisir les points d’abscisses -3,-2,-1,0,1,2,3 et trouver les ordonnées correspondantes f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)
Exemple : f(-3)=(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27
\Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x^2 \quad \Box \quad {f'(x)}=3x^2
Indice : Choisir les points d’abscisses -3,-2,-1,0,1,2,3 et trouver les ordonnées correspondantes f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)
Exemple : f(-3)=(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27
La fonction f(x)=x^3 a pour dérivée la fonction {f'(x)}=3x^2.