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Probabilités

Proba7 : Exercice d’arbre

Une urne contient trois boules de couleurs différentes (jaune, verte, bleue). On tire au hasard une première boule, on la remet dans l’urne après avoir noté sa couleur. On tire une seconde boule, on note sa couleur.
1.Construire l’arbre correspondant à cette expérience aléatoire
2.A l’aide d’un arbre déterminer toutes les issues de cette expérience aléatoire.
Il y a 9 issues pour cette expérience.
Ω={JJ,JV,JB,VJ,VV,VB,BJ,BV,BB}.
3.Déterminer les issues de l’événement « les deux boules sont de la même couleur ».
Les issues sont : JJ,VV,BB
4.Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur ?
P=3/9=1/3
5.Quelle la probabilité de tirer deux boules bleues ?
P=1/9
6.Quelle est la probabilité de tirer deux boules dont la première est verte ?
P=3/9=1/3
Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction

D02 – Cours

Notion de fonction dérivée

On définit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
On appelle fonction dérivée de f (notée {f'}) la fonction qui associe, à toute valeur x de I, le nombre dérivé de f en x.

De la même façon que l’on définit une fonction continue sur un intervalle I, on définit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour certaines fonctions, la fonction dérivée n’existe pas en certains points. L’intervalle I permet de les enlever.

Pour mémoire, un intervalle s’écrit sous la forme \left [ 2,4 \right ] ou \left ] 2,+\infty \right[ .

Fonctions dérivées des fonctions de référence

Si f(x)= alors {f'}(x)=
ax+b a
x^2 2x
x^3 3x^2
\frac{1}{x} \frac{-1}{x^2}
\sqrt{x} \frac{1}{2 \sqrt{x}}
x^{a} ax^{a-1}
Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction

D01 – Approche par la tangente

Ouvrir Géogébra
Dans la zone de saisie, entrer f(x)=x^2
1.Quelle est la fonction saisie ?
C’est la fonction carrée.
2.Quelles sont ses caractéristiques graphiques ?
La fonction est symétrique par rapport à x=0. Elle est donc décroissante jusqu’à 0 puis croissante après 0.
Dans la zone de saisie, entrer les points (1,1) (2,4) (3,9) (-1,1) (-2,4) (-3,9)
3.Les points appartiennent-ils à la courbe ?
f(1)=1 f(2)=4 f(3)=9 et par symétrie f(-1)=1 f(-2)=4 f(-3)=9
En appuyant sur le 4ème bouton, choisir « Tangentes » pour connaître l’équation de la tangente d’une courbe en un point. Déterminer les équations des tangentes des différents points A,B,C puis D,E,F.
Procédure : Pour chaque point, il faut cliquer sur ce point et la courbe. Des équations de type affine y=ax+b vont apparaître dans la zone de saisie…Pour mémoire : a est le coefficient directeur d’une équation affine.
4.Compléter le tableau suivant :
Points A B C D E F
Coefficient directeur 2 4 6 -2 -4 -6
On note {f'(x)} le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C au point d’abscisse x.
5.Compléter le tableau suivant :
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f‘(x) -6 -4 -2 0 2 4 6
6. A l’aide des résultats du tableau remplissez en conjecturant le tableau suivant :
x -3,5 -2,5 -2 0 2 4 8 25
f‘(x) -7 -5 -4 0 4 8 16 50
7. Plus généralement, pour tout nombre x, conjecturer la formule donnant {f'(x)} en fonction de x :

\Box \quad {f'(x)}=2+x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=x^2
La formule qui paraît logique au vue des résultats obtenus est : {f'(x)}=2x
La fonction x \mapsto 2x est la dérivée de la fonction f(x), notée {f'(x)}.


C’est à vous

Avec la même procédure, trouver la dérivée de la fonction f(x)=x^3.


\Box \quad {f'(x)}=2x \quad \Box \quad {f'(x)}=2x^2 \quad \Box \quad {f'(x)}=3x^2


Indice : Choisir les points d’abscisses -3,-2,-1,0,1,2,3 et trouver les ordonnées correspondantes f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3)
Exemple : f(-3)=(-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3)=-27

La fonction f(x)=x^3 a pour dérivée la fonction {f'(x)}=3x^2.
Suites géométriques

SG13 : Problème avec des suites

Augmentation
Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation de leur salaire mensuel.
Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel de 50 € au premier janvier de chaque année.

Marie est embauchée dans l’entreprise avec un salaire de 1 500 € par mois. Elle choisit d’être augmentée suivant l’option A. On note M_n son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a M_0 = 1500 .
a) Calculer M_1 et M_2 .
b) Exprimer M_{n+1} en fonction de M_n . En déduire la nature de la suite ( M_n ).
c) Exprimer M_n en fonction de n.
d) Calculer M_{20} .
e) A partir de combien d’années son salaire mensuel sera-t-il d’au moins 1 800 € ?

Option B : une augmentation de 3 % du salaire mensuel de l’année précé- dente au premier janvier de chaque année.

Jean est embauché la même année que Marie avec un salaire de 1 500 € par mois. Il choisit d’être augmenté suivant l’option B. On note J_n son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a J_0 = 1500 .
a) Calculer J_1 et J_2 .
b) Exprimer J_{n+1} en fonction de J_n . En déduire la nature de la suite ( J_n ).
c) Exprimer J_n en fonction de n.
d) Calculer J_{20} . (Arrondir au centime près).
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d’années son salaire mensuel sera d’au moins 1 800 € ?


A partir de combien d’années passées dans l’entreprise, le salaire mensuel de Jean sera-t-il supérieur à celui de Marie ?

Suites géométriques

SG2 – Correction de l’interrogation – Devoir B

Vocabulaire des suites géométriques

1. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour passer d’un terme à un autre pour une suite géométrique ?

\boxtimes multiplication \quad \Box addition \quad \Box division \quad \Box soustraction
La multiplication pour une suite géométrique

2. Quelle est la formule avec le terme de rang n et le terme suivant pour une suite géométrique ?

\boxtimes u_{n+1}=u_{n} \times q \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
\Box u_{n}=u_{n+1}+r \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
Pas de r pour une suite géométrique

3. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?

\Boxu_{n}=u_{0} \times q^{n-1}\quad \boxtimes u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
\Boxu_{n}=u_{1} \times q^n \quad \boxtimes u_{n}=u_{0} \times q^n
N’oubliez pas que u_{1}=u_{0} \times q

4. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 12% ?

\Box 1,12 \quad \boxtimes 0,88 \quad \Box 0,12 \quad \Box -0,12
Réduction ou diminution 1-t%=1-0,12=0,88

5. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 31% ?

\Box 0,69 \quad \boxtimes 1,31 \quad \Box 0,31 \quad \Box -0,31 \quad

Augmentation ou croissance 1+t%=1+0,31=1,31


Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q

1. On donne u_{0}=2 et q=3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=2 \times 3^n
u_{3}=2 \times 3^3=54

2. On donne u_{0}=5 et q=-2, calculer u_{5}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=5 \times (-2)^n
u_{5}=5 \times (-2)^5=-160

3. On donne u_{0}=-3 et q=4, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=(-3) \times 4^n
u_{4}=(-3) \times 4^4=324

4. On donne u_{1}=4 et q=-3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=4 \times (-3)^{n-1}
u_{3}=4 \times (-3)^{3-1}=36

5. On donne u_{1}=5 et q=2/3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=5 \times (2/3)^n
u_{4}=5 \times (2/3)^{4-1}=1,48
Suites géométriques

SG20 – Devoir A

Vocabulaire des suites géométriques

1. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour passer d’un terme à un autre pour une suite géométrique ?

\Box addition \quad \Box division \quad \Box soustraction \quad \boxtimes multiplication
La multiplication pour une suite géométrique

2. Quelle est la formule avec le terme de rang n et le terme suivant pour une suite géométrique ?

\Box u_{n+1}=u_n \times r \quad \Box u_{n}=u_{n+1} \times r
\Box u_{n}=u_{n+1}+r \quad \boxtimes u_{n+1}=u_{n} \times q
Pas de r pour une suite géométrique

3. Quelles sont les 2 formules faisant apparaître u_n , u_0 ou u_1 et q pour une suite géométrique ?

\Box u_{n}=u_{1} \times q^n \quad \boxtimes u_{n}=u_{0} \times q^n
\Boxu_{n}=u_{0} \times q^{n-1} \quad \boxtimes u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}
N’oubliez pas que u_{1}=u_{0} \times q

4. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une diminution de 11% ?

\Box 0,11 \quad \Box 1,11 \quad \boxtimes 0,89 \quad \Box -0,11 \quad
Réduction ou diminution 1-t%=1-0,11=0,89

5. Quelle est l’opération mathématique réalisée pour une augmentation de 13% ?

\Box 0,13 \quad \boxtimes 1,13 \quad \Box 0,87 \quad \Box -0,13 \quad

Augmentation ou croissance 1+t%=1+0,13=1,13


Calcul des termes d’une suite géométrique connaissant u_{0} ou u_{1} et q
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q

1. On donne u_{0}=3 et q=2, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=3 \times 2^n
u_{3}=3 \times 2^3=24

2. On donne u_{0}=-2 et q=5, calculer u_{5}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=(-2) \times 5^n
u_{5}=(-2) \times 5^5=-6250

3. On donne u_{0}=4 et q=-3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{0} \times q^n=4 \times (-3)^n
u_{4}=4 \times (-3)^4=324

4. On donne u_{1}=4 et q=-3, calculer u_{3}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=4 \times (-3)^{n-1}
u_{3}=4 \times (-3)^{3-1}=36

5. On donne u_{1}=5 et q=2/3, calculer u_{4}.

u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}=5 \times (2/3)^n
u_{4}=5 \times (2/3)^{4-1}=1,48
Suites géométriques

SG05 – Somme des termes : Application de la formule

Définition :

La somme des n premiers termes d’une suite géométrique peut être déterminé avec la formule suivante :


S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}


ou


S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}


Attention une formule avec u_0 et une autre avec u_1 !!!

Pour appliquer la formule de calcul de somme de n termes d’une suite géométrique, il faut :

  • Déterminer le nombre de termes n de la suite.
  • Connaître le premier terme et la raison.
  • Appliquer la formule avec u_0 ou u_1

Exemple avec u_0 :

Calculer la somme de 5 premiers termes de la suite géométrique avec u_0=2 et q=3

Ici, n=5 et on applique la formule avec u_0.


Ainsi         S=u_0 \times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}


Ou             S=2 \times \dfrac{3^{5+1}-1}{3-1}


Enfin       S=2 \times \dfrac{729-1}{3-1}=2 \times \dfrac{728}{2}=728


On vérifie : S=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5
S=(2)+(6)+(18)+(54)+(162)+(486)=728

Exemple avec u_1 :

Calculer la somme de 3 premiers termes de la suite géométrique avec u_1=-2 et q=2

Ici, n=3 et on applique la formule avec u_1.


Ainsi         S=u_1 \times \dfrac{q^{n}-1}{q-1}


Ou             S=(-2) \times \dfrac{2^{3}-1}{2-1}


Enfin       S=(-2) \times \dfrac{8-1}{2-1}=(-2) \times \dfrac{7}{1}=-14


On vérifie : S=u_1+u_2+u_3=(-2)+(-4)+(-8)=-14

Exercices :

Calculer la somme de 10 premiers termes de la suite géométrique avec u_0=100 et q=2


Calculer la somme de 10 premiers termes de la suite géométrique avec u_1=20000 et q=1,05
Suites géométriques

SG9a – Etablir un tableau d’amortissement – Amortissement constant

Le directeur de l’entreprise Les transporteurs réunis envisage l’achat d’un nouveau véhicule destiné au transport des marchandises. Pour financer cet achat, l’entreprise va devoir contracter l’emprunt d’un capital de 50 000 € au taux de 3,8 % par an remboursable en cinq annuités.

Avant de prendre sa décision, il demande à son comptable d’établir un tableau récapitulatif des remboursements de cet emprunt.


A. Amortissement constant

Le comptable propose un remboursement avec un amortissement constant et doit compléter le tableau d’amortissement ci-dessous, où les montants sont en euros.

Echéances Capital dû avant l’échéance Amortissement Intérêts Annuités
1 50000
2
3
4
5
L’amortissement est la part de capital remboursé.
L’amortissement constant A d’un capital de valeur V_0 remboursé en n annuités est égal à : A=\dfrac{V_0}{n}
1. Calculer le montant de l’amortissement constant, puis compléter la troisième colonne.

A=\dfrac{V_0}{n}=\dfrac{50000}{5}=10000


Pour une échéance donnée, le capital restant dû est égal à la différence du capital dû l’année précédente et de l’amortissement.

2. Remplir la deuxième colonne avec le capital dû

C_1=50000
C_2=40000
C_3=30000
C_4=20000
C_5=10000


Les intérêts représentent 3,8 % du capital restant dû avant l’échéance.

3. Calculer l’intérêt pour chaque échéance, puis compléter la quatrième colonne du tableau.

i_1=50000 \times 0,038=1900
i_2=40000 \times 0,038=1520
i_3=30000 \times 0,038=1140
i_4=20000 \times 0,038=760
i_5=10000 \times 0,038=380


L’annuité est la somme de l’amortissement et de l’intérêt.


4. Calculer le montant de la première annuité, puis compléter la cinquième colonne.

première annuité = 10 000 + 1 900 = 11 900
5. Quelle est la nature de la suite formée par les différentes annuités. Préciser son premier terme et sa raison.

11900 – 11520 = 11520 – 11140 = 11140 – 10760 = 10760 – 10380 = 380
Il s’agit donc d’une suite arithmétique de premier terme 11 900 et de raison r = – 380
Suites géométriques

SG9b – Etablir un tableau d’amortissement – Annuités constantes

Le directeur de l’entreprise Les transporteurs réunis envisage l’achat d’un nouveau véhicule destiné au transport des marchandises. Pour financer cet achat, l’entreprise va devoir contracter l’emprunt d’un capital de 50 000 € au taux de 3,8 % par an remboursable en cinq annuités.

Avant de prendre sa décision, il demande à son comptable d’établir un tableau récapitulatif des remboursements de cet emprunt.


B. Annuités constantes

Le remboursement par amortissement constant ne convient pas au directeur de l’entreprise : il préfèrerait 5 annuités de même montant pour rembourser son emprunt de 50 000 € au taux de 3,8 %. Le comptable utilise un tableur pour réaliser le tableau d’amortissement comme représenté ci-dessous.

Echéances Capital restant dû Amortissement Intérêts Annuités
1 50000
2
3
4
5

Les fonctions financières du tableur permettent les calculs d’annuités et d’intérêts de remboursement d’emprunts.

La fonction financière =VPM(taux;npm;va)
du tableur permet le calcul de l’annuité pour un emprunt à taux constant (taux), connaissant le nombre d’annuités de remboursement (npm) et le capital emprunté (va).
1. Calculer l’annuité en saisissant dans la cellule E2 la formule : =VPM(3,8%;5;50000). Compléter la colonne Annuité du tableau sachant que le directeur souhaite une annuité constante.

Noter la valeur obtenue, sans tenir compte du signe négatif qui indique qu’il s’agit d’une somme due.

première annuité = 11 168,33 €
La fonction financière =INTPER(taux;per;npm;va) du tableur permet le calcul de l’intérêt pour une période donnée.
Les intérêts représentent 3,8 % du capital restant dû avant l’échéance.
2. Calculer l’intérêt de la première échéance en saisissant dans la cellule D2 la formule : =INTPER(3,8%;1;5;B2).

Noter la valeur obtenue, sans tenir compte du signe négatif qui indique qu’il s’agit d’une somme due.

premier intérêt = 1 900 €
3. Saisir dans la cellule C2 la formule =E2-D2 et noter la valeur obtenue :

On rappelle que l’amortissement est égal au montant de l’annuité moins l’intérêt.

premier amortissement = 9 268,33 €
4. Saisir dans la cellule B3 la formule =B2+C2 (attention la valeur de l’amortissement donnée par la tableur est négative) et noter la valeur obtenue :

Le capital restant dû à la deuxième échéance est égal au capital de l’échéance précédente moins l’amortissement.

capital restant dû = 40 731,67 €
5. Compléter la 2ème ligne du tableau d’amortissement en recopiant la cellule Intérêt, puis Amortissement, et enfin Capital restant dû à l’échéance 3.
6. Répéter ces opérations, ligne par ligne, pour compléter l’ensemble du tableau.
7. Effectuer la somme des différents amortissements.
50 000 €
8. Comparer la somme obtenue avec le montant du capital emprunté.
La somme des amortissements est égale au capital emprunté.
9. Quelle est la nature de la suite formée par les différents amortissements. Préciser son premier terme et sa raison.
9620,52 / 9268,33 = 9986,10 / 9620,52 = 10365,58 / 9986,10 = 10365,58 / 10365,58 = 1,038
Il s’agit donc d’une suite géométrique de premier terme 9 268,33 et de raison q = 1,038.